Matemática básica Ejemplos

$\frac{\sqrt{3^{y} + 3^{y} + 3^{y}}}{\sqrt{6^{y} + 6^{y} + 6^{y}}} = \frac{1}{64}$

Paso 1

Multiplicación cruzada.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Aplica la multiplicación cruzada; para ello, haz que el producto del numerador del lado derecho y el denominador del lado izquierdo sean iguales al producto del numerador del lado izquierdo y el denominador del lado derecho.

$1 \cdot (\sqrt{6^{y} + 6^{y} + 6^{y}}) = \sqrt{3^{y} + 3^{y} + 3^{y}} \cdot (64)$

Paso 1.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.1

Simplifica $1 \cdot (\sqrt{6^{y} + 6^{y} + 6^{y}})$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.1.1

Multiplica $\sqrt{6^{y} + 6^{y} + 6^{y}}$ por $1$ .

$\sqrt{6^{y} + 6^{y} + 6^{y}} = \sqrt{3^{y} + 3^{y} + 3^{y}} \cdot (64)$

Paso 1.2.1.2

Suma $6^{y}$ y $6^{y}$ .

$\sqrt{2 \cdot 6^{y} + 6^{y}} = \sqrt{3^{y} + 3^{y} + 3^{y}} \cdot (64)$

Paso 1.2.1.3

Suma $2 \cdot 6^{y}$ y $6^{y}$ .

$\sqrt{3 \cdot 6^{y}} = \sqrt{3^{y} + 3^{y} + 3^{y}} \cdot (64)$

Paso 1.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.1

Simplifica $\sqrt{3^{y} + 3^{y} + 3^{y}} \cdot (64)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.1.1

Suma $3^{y}$ y $3^{y}$ .

$\sqrt{3 \cdot 6^{y}} = \sqrt{2 \cdot 3^{y} + 3^{y}} \cdot 64$

Paso 1.3.1.2

Suma $2 \cdot 3^{y}$ y $3^{y}$ .

$\sqrt{3 \cdot 6^{y}} = \sqrt{3 \cdot 3^{y}} \cdot 64$

Paso 1.3.1.3

Multiplica $3$ por $3^{y}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.1.3.1

Eleva $3$ a la potencia de $1$ .

$\sqrt{3 \cdot 6^{y}} = \sqrt{3^{1} \cdot 3^{y}} \cdot 64$

Paso 1.3.1.3.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\sqrt{3 \cdot 6^{y}} = \sqrt{3^{1 + y}} \cdot 64$

Paso 1.3.1.4

Mueve $64$ a la izquierda de $\sqrt{3^{1 + y}}$ .

$\sqrt{3 \cdot 6^{y}} = 64 \sqrt{3^{1 + y}}$

Paso 2

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación.

${\sqrt{3 \cdot 6^{y}}}^{2} = {(64 \sqrt{3^{1 + y}})}^{2}$

Paso 3

Simplifica cada lado de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3 \cdot 6^{y}}$ como ${(3 \cdot 6^{y})}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(3 \cdot 6^{y})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(64 \sqrt{3^{1 + y}})}^{2}$

Paso 3.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.1

Simplifica ${({(3 \cdot 6^{y})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.1.1

Multiplica los exponentes en ${({(3 \cdot 6^{y})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(3 \cdot 6^{y})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(64 \sqrt{3^{1 + y}})}^{2}$

Paso 3.2.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

${(3 \cdot 6^{y})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(64 \sqrt{3^{1 + y}})}^{2}$

Paso 3.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

${(3 \cdot 6^{y})}^{1} = {(64 \sqrt{3^{1 + y}})}^{2}$

Paso 3.2.1.2

Simplifica.

$3 \cdot 6^{y} = {(64 \sqrt{3^{1 + y}})}^{2}$

Paso 3.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.1

Simplifica ${(64 \sqrt{3^{1 + y}})}^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.1.1

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.1.1.1

Aplica la regla del producto a $64 \sqrt{3^{1 + y}}$ .

$3 \cdot 6^{y} = 64^{2} {\sqrt{3^{1 + y}}}^{2}$

Paso 3.3.1.1.2

Eleva $64$ a la potencia de $2$ .

$3 \cdot 6^{y} = 4096 {\sqrt{3^{1 + y}}}^{2}$

Paso 3.3.1.2

Reescribe ${\sqrt{3^{1 + y}}}^{2}$ como $3^{1 + y}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.1.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3^{1 + y}}$ como $3^{\frac{1 + y}{2}}$ .

$3 \cdot 6^{y} = 4096 {(3^{\frac{1 + y}{2}})}^{2}$

Paso 3.3.1.2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 \cdot 6^{y} = 4096 \cdot 3^{\frac{1 + y}{2} \cdot 2}$

Paso 3.3.1.2.3

Combina $\frac{1 + y}{2}$ y $2$ .

$3 \cdot 6^{y} = 4096 \cdot 3^{\frac{(1 + y) \cdot 2}{2}}$

Paso 3.3.1.2.4

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.1.2.4.1

Cancela el factor común.

$3 \cdot 6^{y} = 4096 \cdot 3^{\frac{(1 + y) \cdot 2}{2}}$

Paso 3.3.1.2.4.2

Divide $1 + y$ por $1$ .

$3 \cdot 6^{y} = 4096 \cdot 3^{1 + y}$

Paso 4

Resuelve $y$

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (3 \cdot 6^{y}) = \ln (4096 \cdot 3^{1 + y})$

Paso 4.2

Expande el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.1

Reescribe $\ln (3 \cdot 6^{y})$ como $\ln (3) + \ln (6^{y})$ .

$\ln (3) + \ln (6^{y}) = \ln (4096 \cdot 3^{1 + y})$

Paso 4.2.2

Expande $\ln (6^{y})$ ; para ello, mueve $y$ fuera del logaritmo.

$\ln (3) + y \ln (6) = \ln (4096 \cdot 3^{1 + y})$

Paso 4.3

Expande el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.1

Reescribe $\ln (4096 \cdot 3^{1 + y})$ como $\ln (4096) + \ln (3^{1 + y})$ .

$\ln (3) + y \ln (6) = \ln (4096) + \ln (3^{1 + y})$

Paso 4.3.2

Expande $\ln (3^{1 + y})$ ; para ello, mueve $1 + y$ fuera del logaritmo.

$\ln (3) + y \ln (6) = \ln (4096) + (1 + y) \ln (3)$

Paso 4.4

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.4.1

Simplifica $\ln (4096) + (1 + y) \ln (3)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.4.1.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.4.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\ln (3) + y \ln (6) = \ln (4096) + 1 \ln (3) + y \ln (3)$

Paso 4.4.1.1.2

Multiplica $\ln (3)$ por $1$ .

$\ln (3) + y \ln (6) = \ln (4096) + \ln (3) + y \ln (3)$

Paso 4.4.1.2

Usa las propiedades de los logaritmos del producto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (3) + y \ln (6) = \ln (4096 \cdot 3) + y \ln (3)$

Paso 4.4.1.3

Multiplica $4096$ por $3$ .

$\ln (3) + y \ln (6) = \ln (12288) + y \ln (3)$

Paso 4.5

Reordena $\ln (3)$ y $y \ln (6)$ .

$y \ln (6) + \ln (3) = \ln (12288) + y \ln (3)$

Paso 4.6

Reordena $\ln (12288)$ y $y \ln (3)$ .

$y \ln (6) + \ln (3) = y \ln (3) + \ln (12288)$

Paso 4.7

Mueve todos los términos que contengan un logaritmo al lado izquierdo de la ecuación.

$y \ln (6) + \ln (3) - y \ln (3) - \ln (12288) = 0$

Paso 4.8

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$y \ln (6) - y \ln (3) + \ln (\frac{3}{12288}) = 0$

Paso 4.9

Cancela el factor común de $3$ y $12288$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.9.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$y \ln (6) - y \ln (3) + \ln (\frac{3 (1)}{12288}) = 0$

Paso 4.9.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.9.2.1

Factoriza $3$ de $12288$ .

$y \ln (6) - y \ln (3) + \ln (\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 4096}) = 0$

Paso 4.9.2.2

Cancela el factor común.

$y \ln (6) - y \ln (3) + \ln (\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 4096}) = 0$

Paso 4.9.2.3

Reescribe la expresión.

$y \ln (6) - y \ln (3) + \ln (\frac{1}{4096}) = 0$

Paso 4.10

Resta $\ln (\frac{1}{4096})$ de ambos lados de la ecuación.

$y \ln (6) - y \ln (3) = - \ln (\frac{1}{4096})$

Paso 4.11

Factoriza $y$ de $y \ln (6) - y \ln (3)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.11.1

Factoriza $y$ de $y \ln (6)$ .

$y (\ln (6)) - y \ln (3) = - \ln (\frac{1}{4096})$

Paso 4.11.2

Factoriza $y$ de $- y \ln (3)$ .

$y (\ln (6)) + y (- 1 \ln (3)) = - \ln (\frac{1}{4096})$

Paso 4.11.3

Factoriza $y$ de $y (\ln (6)) + y (- 1 \ln (3))$ .

$y (\ln (6) - 1 \ln (3)) = - \ln (\frac{1}{4096})$

Paso 4.12

Reescribe $- 1 \ln (3)$ como $- \ln (3)$ .

$y (\ln (6) - \ln (3)) = - \ln (\frac{1}{4096})$

Paso 4.13

Divide cada término en $y (\ln (6) - \ln (3)) = - \ln (\frac{1}{4096})$ por $\ln (6) - \ln (3)$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.13.1

Divide cada término en $y (\ln (6) - \ln (3)) = - \ln (\frac{1}{4096})$ por $\ln (6) - \ln (3)$ .

$\frac{y (\ln (6) - \ln (3))}{\ln (6) - \ln (3)} = \frac{- \ln (\frac{1}{4096})}{\ln (6) - \ln (3)}$

Paso 4.13.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.13.2.1

Cancela el factor común de $\ln (6) - \ln (3)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.13.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y (\ln (6) - \ln (3))}{\ln (6) - \ln (3)} = \frac{- \ln (\frac{1}{4096})}{\ln (6) - \ln (3)}$

Paso 4.13.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{- \ln (\frac{1}{4096})}{\ln (6) - \ln (3)}$

Paso 4.13.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.13.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = - \frac{\ln (\frac{1}{4096})}{\ln (6) - \ln (3)}$

Paso 5

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$y = - \frac{\ln (\frac{1}{4096})}{\ln (6) - \ln (3)}$

Forma decimal:

$y = 12$